Solo los números que son cuadrados perfectos, pueden tener una cantidad impar de divisores, note que cada divisor ~x~, tiene un opuesto ~\frac{n}{x}~, pero en el caso de que ~x = \frac{n}{x}~, o sea, la raiz cuadrada de n, no tiene un divisor opuesto, por lo que la cantidad de divisores es impar.

Otra posible demostración es la siguiente, la cantidad de divisores de un número es la multiplicatoria de los exponentes de los factores primos más 1, o sea:

~\prod_{p,e \in P}{e + 1}~

Donde ~e~, es el exponente del factor primo ~p~, de ~n~. Si en la anterior fórmula al menos un factor primo, está una cantidad impar de veces(su exponente es impar), es simple ver que el resultado será par, por lo que para que el resultado sea impar, todos los exponentes tienen que ser pares, por lo que el número es un cuadrado perfecto.

Teniendo esto podemos reducir el problema a contar cuantos cuadrados perfectos hay hasta ~n~, lo cual se puede notar que son ~\lfloor \sqrt{n} \rfloor~.