Indicemos los vértices desde 0. Digamos que ~B_i~ es el valor del vértice ~i~ en el segundo círculo, y ~A_i~ es el valor del vértice ~i~ en el primer círculo. Por definición

~\begin{align}B_i = A_{(i - 1) \% n} + A_i + A_{(i+1)\%n}\\A_{(i + 1)\% n} = B_i - A_{(i-1)\% n} - A_i\end{align}~

Fijemos los valores de ~A_0~ y ~A_1~. Propiamente, ~A_0 = x, A_1 = y~. Entonces ~A_2 = B_1 - A_1 - A_0 = B_1 - y - x~. Luego, ~A_3 = B_2 - A_2 - A_1 = B_2 - B_1 + y + x - y = B_2 - B_1 + x~, y así sucesivamente con ~A_4, A_5, \dots, A_{n-1}~. Podemos expresar cada ~A_i~ como una combinación lineal de ~x~ y ~y~. Dicho de otra forma, ~A_i = a_i x + b_i y + c_i~, y podemos computar ~a_i, b_i, c_i~ recurrentemente:

$$\displaystyle \begin{align} A_{i-1} = a_{i-1} x + b_{i-1} y + c_{i-1}\\ A_{i} = a_{i} x + b_{i} y + c_{i}\\ A_{i + 1} = B_{i} - A_{i} - A_{i-1}\\ A_{i + 1} = B_{i} - a_{i} x - b_{i} y - c_i - a_{i-1} x - b_{i-1} y - c_{i-1}\\ A_{i+1} = (-a_i - a_{i-1}) x + (-b_i - b_{i-1}) y + B_i - c_i - c_{i-1} \end{align}$$

Entonces, de aquí podemos obtener las ecuaciones recurrentes de ~a_i, b_i, c_i~:

$$\displaystyle \begin{align} a_{i+1} = -a_i - a_{i-1}\\ b_{i+1} = -b_i - b_{i-1}\\ c_{i+1} = -c_i - c_{i-1} + B_i \end{align}$$

Como ~A_0 = x, A_1 = y~, tenemos que:

• ~a_0 = 1, b_0 = 0, c_0 = 0~

• ~a_1 = 0, b_1 = 1, c_1 = 0~

Pero además, podemos computar ~a_0, b_0, c_0~ a partir de ~a_{n-1}, b_{n-1}, c_{n-1}~ y ~a_{n-2}, b_{n-2}, c_{n-2}~. Llamemos a esos valores ~a'_0, b'_0, c'_0~.

$$\displaystyle \begin{align} a'_{0} = -a_{n-1} - a_{n-2}\\ b'_{0} = -b_{n-1} - b_{n-2}\\ c'_{0} = -c_{n-1} - c_{n-2} + B_{n-1} \end{align}$$

Similarmente:

$$\displaystyle \begin{align} a'_{1} = -a'_{0} - a_{n-1}\\ b'_{1} = -b'_{0} - b_{n-1}\\ c'_{1} = -c'_{0} - c_{n-1} + B_{0} \end{align}$$

Entonces, tenemos que:

$$\displaystyle \begin{align} a_0 x + b_0 y + c_0 = a'_0 x + b'_0 y + c'_0 \\ a_1 x + b_1 y + c_1 = a'_1 x + b'_1 y + c'_1 \\ \end{align}$$

Resolviendo ese sistema de ecuaciones, podemos hallar ~x, y~, y de esa manera computar ~A_0, A_1, \dots, A_{n-1}~.

Como el problema garantiza que siempre existe una solución, y es única, el sistema de ecuaciones es soluble.

Solución de ejemplo:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

struct node{
    ll a, b, c;
} ans[1000001];

int n;
ll arr[1000001];

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);

    cin >> n;
    ans[0].a = 1, ans[0].b = 0, ans[0].c = 0;
    ans[1].a = 0, ans[1].b = 1, ans[1].c = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cin >> arr[i];
    for(int i = 2; i < n+2; i++){
        ans[i%n].a = -ans[(i-1)%n].a - ans[(i-2)%n].a;
        ans[i%n].b = -ans[(i-1)%n].b - ans[(i-2)%n].b;
        ans[i%n].c = arr[(i-1)%n] - ans[(i-1)%n].c - ans[(i-2)%n].c;
    }

    ll X = 1LL - ans[0].a;
    ll Y = -ans[0].b;
    ll Z = -ans[1].a;
    ll R = 1LL - ans[1].b;

    ll A = (ans[0].c*R - ans[1].c*Y)/(X*R - Y*Z);
    ll B = (ans[0].c*Z - ans[1].c*X)/(Y*Z - X*R);

    for(int i = 0; i < n; i++)
        cout << ans[i].a * A + ans[i].b * B + ans[i].c << '\n';

    return 0;
}